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已知公差为d的等差数列an，0＜a1＜π2，0＜d＜π2，其前n项和为Sn，若sin（a1

发布时间：栏目：试题年级：数学
试题：
已知公差为d的等差数列an，0＜a1＜
π
2
，0＜d＜
π
2
，其前n项和为Sn，若sin（a1+a3）=sina2，cos（a3-a1）=cosa2．
（1）求数列an的通项公式；
（2）设bn=
Sn
(n+1)•2n-1
，求数列bn的前n项和Tn．
问题解答：

匿名网友
  • （1）∵sin（a1+a3）=sina2，∴sin2a2=2sina2cosa2=sina2，∴sina2（2cosa2-1）=0，
    ∵0＜a1＜
    π
    2
    ，0＜d＜
    π
    2
    ，∴0＜a2＜π，∴sina2≠0，∴cosa2=
    1
    2
    ，∴a2=
    π
    3
    ，
    ∵cos（a3-a1）=cosa2，∴cos2d=cos
    π
    3
    ，∴d=
    π
    6
    ，∴a1=
    π
    6
    ，∴an=
    π
    6
    +    (n-1)•
    π
    6
    =
    nπ
    6
    ，∴数列an的通项公式为an=
    nπ
    6
    ．
    （2）∵Sn=
    n(a1+an)
    2
    =
    n(n+1)π
    12
    ，∴bn=
    Sn
    (n+1)•2n-1
    =
    πn
    6•2n
    =
    π
    6
    •
    n
    2n
    ，
    ∴Tn=
    π
    6
    (
    1
    2
    +2•
    1
    22
    +3•
    1
    23
    +4•
    1
    24
    ++n•
    1
    2n
    )    ①，
    1
    2
    Tn=
    π
    6
    [
    1
    22
    +2•
    1
    23
    +3•
    1
    24
    +4•
    1
    25
    ++(n-1)•
    1
    2n
    +n•
    1
    2n+1
    ]    ②，
    ①-②得
    1
    2
    Tn=
    π
    6
    (
    1
    2
    +
    1
    22
    +
    1
    23
    +
    1
    24
    ++
    1
    2n
    -n•
    1
    2n+1
    )    =
    π
    12
    (1-
    1
    2n
    )
    1-
    1
    2
    -
    nπ
    6
    •
    1
    2n+1
    =
    π
    6
    (1-
    1
    2n
    )-
    nπ
    6
    •
    1
    2n+1
    ，
    ∴Tn=
    π
    3
    -
    (n+2)π
    3•2n+1
    ．

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